Curt, der Sohn von Carl Garcke, war wohl kein guter, auf jeden Fall kein angepasster Schüler. Als er acht Jahre alt war (1855), gaben ihn die Eltern zu dem der Familie bekannten Pfarrer Graessner in Crössuln bei Teuchern in der Nähe von Zeitz in Pension. Die Eltern wollten Curt dann auf die bekannte Klosterschule in Pforta bei Naumburg schicken. Er wurde aber nicht angenommen und besuchte von 1860 bis 1865 das Stiftsgymnasium in Zeitz. Nach seinen Erinnerungen war diese Zeit unerfreulich, die Lehrer waren auch nicht qualifiziert. Bis 1866, bis zum Abschluss der Obersekunda (11. Klasse), ging er dann auf das Domgymnasium in Naumburg. Dort herrschte ein freierer, munterer, noblerer Geist.
Im Juni 1866 trat Curt die landwirtschaftliche Lehre auf dem Rittergut Großhermsdorf bei Borna in Sachsen an und blieb dort bis Michaelis (29.9.) 1868, im letzten Jahr als Verwalter. Daran schloss sich der einjährige Militärdienst an. Er leistete ihn in Zeitz ab.
Als Secondeleutnant nahm er am Deutsch-Französischen Krieg 1870/71 teil. Er machte am 30. August 1870 den Sturm auf Beaumont an der Maas in der Nähe von Sedan mit, wo er verwundet wurde. Curt wurde mit dem Eisernen Kreuz ausgezeichnet. Zu der Verwundung kam eine Ansteckung mit der Ruhr. Curt wurde in Zeitz gepflegt, dann war er wieder im Feld in Frankreich und erlebte die Kapitulation von Paris mit. Curt war später Hauptmann
Er übernahm den Wittgendorfer Hof zum 1.Juli 1873 und am 14. Juli heiratete er in Wittgendorf Anna Tienken.
1878 bildete sich in Meußelwitz im benachbarten Sachsen-Altenburg und 1879 in Gera im Fürstentum Reuß (jüngere Linie) jeweils ein Komitee zum Bau einer normalspurigen Eisenbahn von Meußelwitz nach Gera. Die Bahn, die in der Meußelwitzer Gegend gewonnene Braunkohle auf dem kürzesten Wege in die aufstrebende Industriestadt Gera befördern sollte, sollte über Kayna und Wittgendorf führen. Damit eröffnete sich eine deutliche Verbesserung auch für den Absatz der auf den Wittgendorfer Höfen erzeugten Güter und für den Bezug von Rohstoffen wie Kohle und Dünger. Curt Garcke bemühte sich deshalb von Beginn an um den Bahnbau. Er gehörte verschiedenen, im Laufe der Planung gebildeten Komitees an, die den Eisenbahnbau und zu dessen Durchführung die Gründung einer Aktiengesellschaft vorbereiteten. Die ablehnende Haltung betroffener anderer Eisenbahngesellschaften ließ das Projekt jedoch 10 Jahre lang ruhen. Curt Garcke machte dann im April 1894 den entscheidenden Vorschlag. Da in Gera 1892 ein Straßenbahnnetz angelegt worden war, schlug er vor, eine schmalspurige Eisenbahn zu bauen, die im Stadtgebiet die gleichbreiten Gleise der Geraer Straßenbahn mitbenutzen sollte. Dieser Vorschlag wurde – bei anderer Linienführung im Geraer Stadtgebiet als Curt ursprünglich angeregt hatte – verwirklicht. Die Endpunkte waren Wuitz-Mumsdorf bei Meußelwitz und Gera-Pforten. Die Bahn wurde 1901 fertiggestellt. Sie beförderte Personen und Güter.
Curt hatte ein besonderes Interesse am Obstbau. Nördlich des Hofes legte er eine 3,5 ha große Obstanlage an, die als Musteranlage bezeichnet wurde. Einige Jahre nach dem Tode seines Vaters rodete er 1892 das letzte zum Hofe gehörende Waldstück in der Größe von ungefähr 2 ha auf dem Eichberg, einer östlich der Kleinen Schnauder sich erhebenden, recht steilen Anhöhe. Curt ließ die Fläche planieren und Terrassen anlegen und bepflanzte auch sie mit Apfelbäumen.
Die Erweiterung des Obstbaus auf ungefähr 4000 Bäume war für den Hof eine wichtige zusätzliche Einnahmequelle. Curt wies auch seine Kollegen und auch die Kommunalbehörden auf die Nützlichkeit des Obstbaus hin, die Kreise und Gemeinden wegen der Verpachtung von an den Straßen und Wegen angepflanzten Obstbäumen. In Vorträgen und praktischen Unterweisungen gab er Anregungen für Neupflanzungen. Die große Ausdehnung der Anpflanzungen schon im 19. Jahrhundert im Kreis Zeitz an Straßen und Gemeindewegen und auf Höfen war im Wesentlichen auf seine unermüdliche Tätigkeit zurückzuführen. Während auf 1000 Einwohner im Deutschen Reich 2622 Obstbäume kamen, waren es im Kreis Zeitz fast 5000.
Curt beriet die Rittergutsbesitzer in Wildenborn, Geußnitz und Würchwitz und Hans Schneider in Wildensee und andere bei der Anlage größerer Obstanpflanzungen. Seine Erfahrungen veröffentlichte er 1901 in dem Heft „Der Obstbaum als Straßenbaum“, das 1921 eine zweite Auflage hatte. Als die Leipziger Ökonomische Gesellschaft um 1904 die Preisaufgabe stellte „Von welchen Bedingungen ist die Rentabilität des Obstbaus im Königreich Sachsen abhängig?“, beteiligte sich Curt mit einer Schrift und errang den Preis.
Curt war über 25 Jahre lang Vorsitzender des Obstbauvereins im Elstertal. Von der Gründung der Landwirtschaftskammer ab war er Vorsitzender des Ausschusses für Obst-, Wein- und Gartenbau. Bei der Deutschen Landwirtschafts-Gesellschaft war er Mitglied des Ausschusses für Obst- und Weinbau sowie beratendes Mitglied des Sonderausschusses für Obstbaumdüngung.
Curt übernahm auch viele Ehrenämter allgemeiner Art. Er war 28 Jahre lang Vorsteher des Amtsbezirks Heuckewalde und Standesbeamter, 24 Jahre lang Vorstandsmitglied der Kreissynode, viele Jahre lang Abgeordneter im Kreistag des Kreises Zeitz und mehr als zwei Jahrzehnte Mitglied des Provinzial-Landtags der Provinz Sachsen. Er war auch als landwirtschaftlicher Sachverständiger tätig, insbesondere für die Landschaft der Provinz Sachsen, einen landwirtschaftlichen Kreditverein als Verband von Gutsbesitzern. Die Landschaft ernannte ihn 1911 zum Landschaftsrat. Dem Vorstand der Landwirtschaftskammer für die Provinz Sachsen gehörte er von 1901 bis 1914 als stellvertretendes Mitglied an. 1918 war er Mitglied.
1901 verlieh ihm der König von Preußen den Titel eines Ökonomierats.
Noch vor der Übergabe des Hofes an den Sohn Johannes trat Curt 1901 in den Dienst des Deutschen Kalisyndikats in Berlin, der Vereinigung der deutschen Kalibergwerke. 1904, nach der Übergabe des Hofes zog er mit seiner Frau nach Zeitz, wo er sich in der Kaiser-Wilhelm-Straße Nr. 66 (heute August-Bebel-Straße) eine Mietwohnung nahm. Er wurde Leiter der in diesem Jahr gegründeten landwirtschaftlichen Auskunftstelle des Syndikats in Zeitz, die für Sachsen, die Provinz Sachsen ohne den Regierungsbezirk Merseburg und die thüringischen Staaten zuständig war. Seine Aufgabe war vor allem, Versuche anzulegen und Vorträge zu halten. Bereits nach zehn Jahren, im Jahr 1911, hatte er 3000 Düngungsversuche angelegt und 500 Vorträge gehalten. Er war deshalb viel auf Reisen. Curt schrieb auch sehr viele Beiträge in landwirtschaftlichen Fachzeitschriften.
Curt regte an und wirkte maßgeblich darauf hin, dass 1919 in Zeitz eine landwirtschaftliche Schule eingerichtet wurde. Er war Vorsitzender des Schul-Kuratoriums und unterrichtete selbst Obst- und Gemüsebau.
Die Goldene Hochzeit des Ehepaars im Juli 1923 in Zeitz war eine große Familienfeier, auf der vor allem die Enkel vortrugen.
Curt starb am 23. August 1926 in Zeitz. Zu seinem Tode schrieben die Zeitzer Neuesten Nachrichten: „In weiten Kreisen unseres Vaterlandes wird die Kunde von dem Hinscheiden dieses nimmermüden Mannes Trauer und Wehmut auslösen. Vielen ist er ein treuer Berater und Helfer und seinem Berufsstand ein tatkräftiger Vorkämpfer gewesen. In Wort und Schrift wirkte er für die deutsche Landwirtschaft bis zu seinem Lebensende. .. Mit ihm ist ein Mann dahingegangen nimmermüde und stets hilfreich, aufrichtig und gottesfürchtig, Diener und Führer zugleich.“
Er wurde auf dem neben der Kirche gelegenen Familienfriedhof in Wittgendorf, den er eingerichtet hatte, begraben.